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出入相补原理在小学奥数中的应用

主题:买房面积有出入 下载地址:论文doc下载 原创作者:原创作者未知 评分:9.0分 更新时间: 2023-12-23

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目录

  1. 一、出入相补原理在小学奥数整数运算方面的应用
  2. 二、出入相补原理在小学奥数平面几何方面的应用
  3. 买房面积有出入:人均租房面积小于20平方米 就要凭暂住证*小区出入证 130607 早安江苏

【关键词】出入相补原理 小学奥数 整数运算 平面几何的面积计算

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889(2014)04A-0016-03

出入相补原理是我国古代数学的基本原理之一,在早期的《九章算术》《周髀算经》和《算术书》等文献中,利用这一原理就获得了很多有关题目的算法,如勾股定理的推导、“方田”问题、开平方法等,它不仅在几何上应用广泛,且这一原理的直观性有助于我们对一些代数问题的理解.奥数对于小学生来说是一个特殊的科目,它涉及的知识领域宽泛,技巧性强.就现有的小学数学知识水平很难解决奥数题,但如果能将新知识转化为已学知识,将复杂问题简单化,那么就可以增强学生学习奥数的兴趣,增强解决问题的能力.此外,由于出入相补原理简单、直观、自然而高效,利用这一原理将有助于学生对奥数有关问题的解决.

所谓出入相补原理,即割补法,引用吴文教授在《出入相补原理》一文中的定义即是“一个平面图形从一处移置他处,面积不变.又若把图形分割成若干块,那么各部分面积的和等于原来图形的面积,因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系.立体的情形也是这样.”

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下面,我们从整数运算、平面几何的面积计算来阐述出入相补原理在小学奥数中的应用.

一、出入相补原理在小学奥数整数运算方面的应用

在近几年小学数学奥林匹克竞赛中,整数运算占了相当重要的地位.对整数运算除了要掌握基本的运算定律、运算性质外,有时要达到简算、巧算,我们还要掌握其他一些简算知识,如平方差公式、公差为1的等差数列求和公式等.由于这些知识点要在初中或高中课本中才会涉及到,要让小学生快速牢记此知识点,教师可通过出入相补原理向学生讲授这些知识的由来,如:

(1)平方差公式:a2-b2等于(a+b)(a-b).

此时a2-b2可转化为求图1阴影部分的面积:根据出入相补原理,我们可将图1转化为图2,且图2阴影部分面积为(a+b)(a-b).由于图1和图2阴影部分面积是相等的,所以有:a2-b2等于(a+b)(a-b).

(2)公差为1的等差数列前n项求和公式:1+2+3等+n等于1/2×(n+1)×n.

此时1+2+3+等+n可转化为求由边长为1的正方形叠加为第2行2个小正方形并依次比上一行多1,直至底边为n个正方形的三角形的面积(如图3).在图3的基础上添加辅助线得图4,此时图4的面积为:

S等于1/2×n×n+1/2×n=1/2×(n+1)×n.

所以1+2+3+等+n等于1/2×(n+1)×n.

例:计算12-22+32-42+52-62+等-1002+1012

解题思路:先适当分组,应用平方差公式计算.

本题若先计算每个平方数,再进行加减,101个数将要算很久.此时如果掌握了平方差公式和等差数列求和公式,则可简便运算,可见在小学奥数中也须掌握这两个公式.

二、出入相补原理在小学奥数平面几何方面的应用

试题的命制是奥数的中心环节,而平面几何则可提供各种层次、难度的试题,所以平面几何在各个国家、层次的竞赛活动上都占据着重要的地位.在我国近几年的小学奥数竞赛中,平面几何常常以求图形面积出现在考生面前.因此,考生须掌握快速求图形面积的方法.那么在已知长方形面积等于长乘以宽的基础上,我们可根据出入相补原理推导出平行四边形、三角形、梯形、圆等的面积公式,加深学生的印象.如:

(1)推导平行四边形的面积公式:S等于底×高.

结合图5,在平行四边形ABCD中作AD边上的高BE,将平行四边形分成△ABE和梯形BCDE,此时将△ABE移动使CD和BA重合,将平行四边形ABCD重组成长方形BCEE,所以平行四边形的面积S等于底×高.

(2)推导三角形的面积公式:S等于1/2×底×高

结合图6,在原有△ABC上,再构建一个与△ABC全等的△DEF,移动两个三角形使AC和FD重合,组成平行四边形ABCE,所以S△ABC等于1/2×S平行四边形ABCE等于1/2×底×高.

(3)推导梯形的面积公式:S等于1/2×(上底+下底)×高

结合图7,在原有梯形ABCD上,再构建一个与梯形ABCD全等的梯形EFGH,移动两个梯形使CD和EH重合,组成平行四边形AEFG,所以S等于1/2×(上底+下底)×高.

(4)推导圆的面积公式:S等于π×半径2

结合图9,将圆进行无限分割,当分割份数增多时,当每一份弧近似直线时,半圆周长则近似长方形的长,半径近似长方形的宽,即圆的面积越来越靠近长方形的面积,所以

S等于π×半径×半径等于π×半径2

例:(第九届小学“希望杯”全国邀请赛六年级第2试)图9中的阴影部分的面积是_______平方厘米.(π取3)

解题思路:此题的阴影部分不是我们常见的规则面几何图形,但我们可以运用出入相补原理,通过分割、添补图形,将其变成我们熟知的平面几何图形,再通过求熟知的平面几何图形的面积,用加、减运算则可得此阴影部分的面积.

方法一:如下图,把阴影部分的面积转为

方法二:连接FD,GD,把阴影部分分割成四部分,分别是△ADG,△AGF,△DFG和弓形FD.则阴影部分面积转化为:

方法三:作辅助线AI,FI,如下图,补上一个小三角形,使正方形ABCG成为长方形BCFI,则有:

方法四:作辅助线AI,FI,并连接ID,FD,则把阴影部分面积转化为:

方法五:作辅助线AI,FI,并连接FD,则把阴影部分面积转化为:

方法六:连接AC,FD且AC∥FD.如下图.因为此时△FAD与△FCD面积相等.故原阴影部分就等于半径为15,圆心角为90℃的扇形面积:S阴等于1/4×π×152等于等于176.6平方厘米.

本题主要考察求复杂图形面积的能力,没有公式可以直接进行计算,因此需结合出入相补原理,先对图形进行割补,再求其面积.此小题给出了六种解决方法,有助于训练一题多解的能力,熟悉运用出入相补原理.

出入相补原理的特点在于简单、直观,运用其解代数、几何中的公式,使公式更加直观,学生理解更加深入.同时,运用其求复杂图形的面积,可从不同角度考虑添加辅助线,将复杂图形转化为熟知的图形进行求解,且有利于提高学生综合运用平面图形面积计算的知识.

【参考文献】

[1]姜鸥.小学数学奥赛一本全[M].山西教育出版社,2005.

[2]高仕松.运用“出入相补原理”求阴影部分的面积[J].教育实践与研究,2012,05:46.

[3]彭刚.出入相补原理及其应用[J].四川教育学院学报,2009,25(4):108-112.

[4]冯艳青.“出入相补原理”的思想方法启示[J].常州师专学报,2001,19(4):69-71.

(责编 黄珍平)

总结:本论文可用于面积出入论文范文参考下载,面积出入相关论文写作参考研究。

买房面积有出入引用文献:

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[2] 椭圆和椭圆面积公式论文参考文献范文 椭圆和椭圆面积公式方面有关论文范本10000字
[3] 面积论文范文集 公摊面积方面有关毕业论文的格式范文5000字
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