《一道原创题的两种解法 孰是孰非》
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摘 要：本文对一道求三角函数值问题给出了两种自然解法,针对这两种解法的不一致性进行了分析探讨并给予了修正.
关键词：三角函数值;分数指数幂;评析
题目已知tanθ等于43,求sin3θ+sinθ的值.
解法1由tanθ等于43,可得sinθcosθ等于43.
所以cosθ等于34sinθ,sinθ≠0.
所以sin3θ+sinθ等于sin3θ+sinθ（sin2θ+cos2θ）（sin2θ+cos2θ）32
等于sin3θ+sinθsin2θ+34sinθ2sin2θ+34sinθ232
等于4116sin3θ54sinθ232
等于4116sin3θ12564sin3θ等于164125.
解法2由tanθ等于43>0,可得θ是第一象限角或第三象限角.
（1）当θ是第一象限角时,由tanθ等于43,可得sinθ等于45.
所以sin3θ+sinθ等于453+45等于164125.
（2）当θ是第三象限角时,由tanθ等于43,可得sinθ等于-45.
所以sin3θ+sinθ等于-453-45等于-164125.
综上所述,可得sin3θ+sinθ等于±164125.
剖析我们发现解法2必然正确,因而解法1是错误的！那么解法1错在哪里呢?
我们分析在解法1中sin3θ+sinθ（sin2θ+cos2θ）（sin2θ+cos2θ）32等于4116sin3θ54sinθ232等于4116sin3θ12564sin3θ是否正确：
该等式中的第一个等号成立毋庸置疑（因为“由tanθ等于43,可得cosθ等于34sinθ,sinθ≠0”是千真万确的）,那么解法1错误的原因只可能是上面等式中的第二个等号不成立因为该等式中第二个等号两边分式的分子恒等,所以它们的分母不恒等,即“（sin2θ）32等于sin3θ”不是恒等式.
确实如此：以上等式中的第一个分式与第三个分式的分子恒等,但分母不恒等,因为（sin2θ+cos2θ）32等于132等于1>0,但由解法2可知12564sin3θ等于12564±453等于±1.
那么,为什么“（sin2θ）32等于sin3θ”不是恒等式呢?
普通高中课程标准实验教科书《数学1·必修·A版》（人民教育出版社,2007年第2版）（下简称《必修1》）第51页第二行给出了下面的公式：
amn等于nam（a>0,m,n∈N*,且n>1）.
第9行（黑体字）又写道“0的正分数指数幂等于0”,所以可把上面的公式推广为：
amn等于nam（a≥0,m,n∈N*,且n>1）.①
因而由sin2θ≥0及①,可得（sin2θ）32等于（sin2θ）3等于sinθ3.
由此,可得解法1的修正：
由tanθ等于43,可得cosθ等于34sinθ,sinθ等于±45.
所以sin3θ+sinθ等于sin3θ+sinθ（sin2θ+cos2θ）（sin2θ+cos2θ）32
等于4116sin3θ54sinθ232等于4116sin3θ12564sinθ3等于164125,sinθ等于45,-164125,sinθ等于-45
所以sin3θ+sinθ等于±164125.
筆者在《数学通讯》2006年第9期（教师版）第25页“争鸣”栏目发表了下面的内容：
问题112全日制普通高级中学教科书（必修）《数学·第一册（上）》（人民教育出版社,2003年）第70页的第2（3）题是：用分数指数幂表示3（a-b）2（a,b∈R+）与该教科书配套使用的《教师教学用书》第55页给出的答案是（a-b）23.
笔者认为：在该教科书中只讲述了底数为非负数的分数指数幂,从未涉及负数的分数指数幂（这样处理也很合适）,所以该题的答案应为a-b23.
从“解法1的修正”来看,笔者发表的观点3（a-b）2等于a-b23（a,b∈R+）是正确的.
《必修1》第54页的第2（3）题把问题112中的题目改成了“用分数指数幂表示3（m-n）2（m>n）”,与《必修1》配套使用的《教师教学用书》第55页给出的答案是（m-n）23.
该观点与笔者发表的观点3（a-b）2等于a-b23（a,b∈R+）也完全一致.
（收稿日期：2019-07-26）
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